ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Треугольники общего вида

Задача 27776. Треугольники общего вида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.1 Треугольник5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол C равен 85°, AD  — биссектриса, E  — такая точка на AB, что AE  =  AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 26 задач
Разбор
Главная идея: Равенство треугольников CAD и EAD (по двум сторонам и углу между ними) позволяет перенести угол C на угол DEA, после чего угол BDE легко находится из суммы углов треугольника.

Шаг 1. Найдём угол A в треугольнике ABC.

Сумма углов треугольника равна 180°: ∠A=180°−∠B−∠C=180°−45°−85°=50°\angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 45° - 85° = 50°

Шаг 2. Найдём углы, на которые биссектриса AD делит угол A.

Поскольку AD — биссектриса: ∠CAD=∠DAB=50°2=25°\angle CAD = \angle DAB = \frac{50°}{2} = 25°

Шаг 3. Докажем равенство треугольников CAD и EAD.

Рассмотрим эти треугольники:

  • AC=AEAC = AE (дано в условии)
  • ADAD — общая сторона
  • ∠CAD=∠DAB=25°\angle CAD = \angle DAB = 25° (из предыдущего шага)

По признаку «сторона-угол-сторона» треугольники CAD и EAD равны.

Шаг 4. Найдём угол DEA.

Из равенства треугольников соответствующие углы равны: ∠DEA=∠DCA=85°\angle DEA = \angle DCA = 85°

Шаг 5. Найдём угол BED в треугольнике ABE.

Поскольку E лежит на AB, углы BED и DEA — смежные: ∠BED=180°−∠DEA=180°−85°=95°\angle BED = 180° - \angle DEA = 180° - 85° = 95°

Шаг 6. Найдём угол BDE в треугольнике BDE.

В треугольнике BDE сумма углов равна 180°: ∠BDE=180°−∠B−∠BED=180°−45°−95°=40°\angle BDE = 180° - \angle B - \angle BED = 180° - 45° - 95° = 40°

Типичные ошибки

  • Забыли, что E лежит на отрезке AB, поэтому углы BED и DEA смежные, а не равные.
  • Не воспользовались тем, что AD — биссектриса, и неправильно определили углы CAD и DAB.
  • Ошибка в применении условия AE = AC — оно критично для равенства треугольников CAD и EAD.

Ещё задачи этой подтемы