ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Треугольники общего вида

Задача 27762. Треугольники общего вида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.1 Треугольник5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65°. BD и CE  — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 26 задач
Разбор
Главная идея: Ортоцентр (точка пересечения высот) и основания двух высот образуют четырёхугольник с двумя прямыми углами при основаниях; сумма углов в четырёхугольнике позволяет найти искомый угол между высотами.

Рассмотрим четырёхугольник ADOE, где D — основание высоты из B на AC, E — основание высоты из C на AB, O — точка пересечения высот (ортоцентр).

Поскольку BD и CE — высоты, то:

  • ∠ADB=90°\angle ADB = 90° (высота перпендикулярна стороне)
  • ∠AEC=90°\angle AEC = 90° (высота перпендикулярна стороне)

В четырёхугольнике ADOE сумма всех углов равна 360°: ∠DAE+∠ADO+∠DOE+∠OEA=360°\angle DAE + \angle ADO + \angle DOE + \angle OEA = 360°

Подставляем известные значения: 65°+90°+∠DOE+90°=360°65° + 90° + \angle DOE + 90° = 360°

Углы при D и E равны 90°, потому что O лежит на высотах, которые перпендикулярны сторонам треугольника.

Решаем уравнение: ∠DOE=360°−65°−90°−90°=115°\angle DOE = 360° - 65° - 90° - 90° = 115°

Угол DOE, образованный высотами в точке их пересечения, равен 115°.

Типичные ошибки

  • Забывают, что D и E — именно основания высот, поэтому углы при них равны 90°, а не произвольные
  • Путают угол DOE с углом между сторонами AB и AC — это разные углы
  • Ошибочно считают, что угол DOE равен углу A или связан с ним простой зависимостью без использования четырёхугольника

Ещё задачи этой подтемы