Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Треугольники общего вида

Нужно найти угол $\angle AOF$, где $O$ — точка пересечения биссектрис (инцентр треугольника).

Шаг 1. Найдём угол C. Сумма углов в треугольнике равна 180°: $$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 60° - 82° = 38°$$

Шаг 2. Определим углы в треугольнике AOF. Так как $AD$ и $CF$ — биссектрисы:

• $\angle OAF = \frac{\angle A}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$ (половина угла A)
• $\angle OFA$ — это угол при вершине $F$ в треугольнике $AOF$

Шаг 3. Найдём $\angle OFA$. В треугольнике $ACF$ угол $\angle ACF = \angle C = 38°$ (часть угла C). Так как $CF$ — биссектриса: $$\angle ACF = \frac{\angle C}{2} = \frac{38°}{2} = 19°$$

В треугольнике $ACF$: $$\angle AFC = 180° - \angle A - \angle ACF = 180° - 60° - 19° = 101°$$

Угол $\angle OFA$ — это часть угла $\angle AFC$, точнее: $$\angle OFA = 180° - \angle A - \frac{\angle C}{2} = 180° - 60° - 19° = 101°$$

Шаг 4. Найдём $\angle AOF$ в треугольнике AOF. $$\angle AOF = 180° - \angle OAF - \angle OFA = 180° - 30° - 101° = 49°$$