Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Треугольники общего вида

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон. Рассмотрим два случая.

Случай 1: DE параллельна третьей стороне AB

Когда средняя линия DE параллельна AB, треугольники CDE и CAB подобны. Поскольку D и E — середины сторон, коэффициент подобия равен $k = 2$ (сторона AB в два раза больше DE).

Для подобных фигур площади относятся как квадрат коэффициента подобия: $$S_{ABC} = k^2 \cdot S_{CDE} = 2^2 \cdot 38 = 4 \cdot 38 = 152$$

Случай 2: DE не параллельна AB

Пусть D — середина AC, E — середина BC. Тогда DE — медиана треугольника ACE из вершины E, поэтому она делит его на два равновеликих треугольника: $S_{CDE} = S_{ADE}$.

Отрезок CE — медиана треугольника ABC из вершины C, делящая его на два равновеликих треугольника: $S_{ACE} = S_{BCE}$.

Так как $S_{ACE} = S_{CDE} + S_{ADE} = 2S_{CDE}$, получаем: $$S_{ABC} = S_{ACE} + S_{BCE} = 2S_{ACE} = 4S_{CDE} = 4 \cdot 38 = 152$$

В обоих случаях ответ одинаков: 152.