Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Треугольники общего вида

Обозначим $\angle ACD = \alpha$.

Шаг 1. Анализ треугольника ADC. По условию $AD = CD$, поэтому треугольник $ADC$ равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle DAC = \angle ACD = \alpha$.

Тогда $\angle ADC = 180° - 2\alpha$.

Шаг 2. Анализ треугольника ABD. По условию $AB = AD$, поэтому треугольник $ABD$ равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle ABD = \angle ADB$.

Углы $\angle ADC$ и $\angle ADB$ — смежные (они образуют развёрнутый угол при вершине $D$): $$\angle ADB = 180° - \angle ADC = 180° - (180° - 2\alpha) = 2\alpha$$

Следовательно, $\angle ABD = 2\alpha$.

Шаг 3. Использование свойства биссектрисы. Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, имеем: $$\angle BAD = \angle DAC = \alpha$$

Шаг 4. Сумма углов в треугольнике ABC. $$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°$$ $$(\angle BAD + \angle DAC) + \angle ABD + \angle ACD = 180°$$ $$(\alpha + \alpha) + 2\alpha + \alpha = 180°$$ $$5\alpha = 180°$$ $$\alpha = 36°$$

Шаг 5. Определение меньшего угла.

• $\angle BAC = 2\alpha = 72°$
• $\angle ABC = 2\alpha = 72°$
• $\angle ACB = \alpha = 36°$

Меньший угол равен $36°$.