ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Треугольники общего вида

Задача 27767. Треугольники общего вида

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.1 Треугольник5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

В треугольнике ABC CH  — высота, AD  — биссектриса, O  — точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 26°. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 26 задач
Разбор
Главная идея: Угол АОС — это внешний угол треугольника АОН, поэтому он равен сумме углов при основании этого треугольника: углу при вершине А (26° из биссектрисы) и прямому углу в Н (из высоты).

Шаг 1. Вспомним, что такое биссектриса. АД — биссектриса угла А, значит она делит угол А пополам. По условию ∠BAD=26°\angle BAD = 26°, поэтому весь угол А равен ∠CAD=∠BAD=26°\angle CAD = \angle BAD = 26° (или можно сказать, что биссектриса делит угол на две равные части, и одна из них — 26°).

Шаг 2. Определим угол в точке Н. СН — высота, значит СН ⊥ АВ. Это значит, что в треугольнике АНС угол АНС равен 90°.

Шаг 3. Применим свойство внешнего угла. Точка О лежит на пересечении прямых СН и АД. Рассмотрим треугольник АОН. Угол АОС является внешним углом для треугольника АОН (лежит снаружи треугольника, продолжая сторону ОН через О).

По теореме о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

∠AOC=∠OAH+∠OHA\angle AOC = \angle OAH + \angle OHA

Шаг 4. Подставим известные значения. ∠OAH=∠CAD=26°\angle OAH = \angle CAD = 26° (это часть биссектрисы) ∠OHA=∠AHC=90°\angle OHA = \angle AHC = 90° (свойство высоты)

∠AOC=26°+90°=116°\angle AOC = 26° + 90° = 116°

Типичные ошибки

  • Забыли, что АД — биссектриса всего угла А, а не просто луч под 26°, и неправильно определили угол ОАН
  • Спутали внешний и внутренний углы — пытались работать с углом внутри треугольника вместо внешнего
  • Не заметили, что О — точка пересечения именно этих двух прямых, и пытались использовать другие углы треугольника АВС

Похожие задачи (другие числа)