Задача 27779. Треугольники общего вида

Рассмотрим, что происходит в треугольнике ABC. Высоты AD, BE и CF пересекаются в ортоцентре O.

Высота AD проведена из вершины A к стороне BC, значит она перпендикулярна BC. Высота CF проведена из вершины C к стороне AB, значит она перпендикулярна AB.

Рассмотрим четырёхугольник AFOD, где F — точка на стороне AB (основание высоты CF), D — точка на стороне BC (основание высоты AD).

В этом четырёхугольнике:

• Угол AFO = 90° (так как CF ⊥ AB)
• Угол ADO = 90° (так как AD ⊥ BC)
• Угол FAD = ∠A = 60°

Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°: $$\angle FAD + \angle AFO + \angle FOD + \angle ADO = 360°$$ $$60° + 90° + \angle FOD + 90° = 360°$$ $$\angle FOD = 120°$$

Углы AOF и FOD — смежные при пересечении высот AD и CF в точке O. Однако проще использовать прямое свойство: угол между двумя высотами равен углу между сторонами, из которых они выходят, или дополнительному углу к этому углу.

Для высот CF и AD, проведённых из вершин C и A: угол AOF между ними равен углу B, так как в четырёхугольнике BFOE (где E — основание BE) углы при основаниях высот составляют 90°, и геометрия даёт $\angle AOF = \angle B = 82°$.