Центральные и вписанные углы: гайд к заданию 1 профильного ЕГЭ

О чём эта подтема

Задание 1 профильного ЕГЭ по математике часто проверяет умение работать с окружностью: находить углы, дуги, стороны треугольников и четырёхугольников, вписанных в окружность или описанных около неё. Одна из ключевых тем здесь — соотношение между центральным и вписанным углом, опирающимися на одну и ту же дугу.

Эта тема кажется простой, но именно на ней теряют баллы из-за спешки: путают, какой угол в два раза больше, забывают про дугу, на которую опирается угол, или неверно определяют, вписан угол в окружность или является центральным. Разобравшись один раз в логике теоремы, вы будете решать такие задачи за 20–30 секунд.

В этом гайде — минимальный набор фактов, которые реально нужны для решения, чёткий алгоритм и подробный разбор двух типовых задач.

Что нужно знать

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности $O$, стороны которого пересекают окружность в двух точках. Он равен градусной мере дуги, на которую опирается: $$\angle AOB = \text{дуга } AB.$$

Вписанный угол — угол с вершиной на самой окружности, стороны которого также пересекают окружность в двух точках (образуя хорду и дугу).

Главная теорема темы (теорема о вписанном угле):

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB,$$ где точка $C$ лежит на окружности, а точки $A$, $B$ и дуга $AB$ (не содержащая $C$) — общие для обоих углов.

Эквивалентная и очень удобная формулировка: $$\angle AOB = 2\angle ACB.$$

Следствия, которые часто нужны в задачах:

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны друг другу.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ (частный случай теоремы: центральный угол на диаметре равен $180^\circ$, значит вписанный — $90^\circ$).
3. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$ — это тоже прямое следствие теоремы о вписанном угле, если понадобится в более сложной задаче.

Важный нюанс про дугу. У хорды $AB$ есть две дуги — большая и малая. Вписанный угол с вершиной на одной дуге опирается на другую дугу и равен половине её градусной меры. Если вершина вписанного угла находится на другой дуге, угол будет опираться на первую дугу, и тогда два вписанных угла, стягиваемые одной хордой, но лежащие по разные стороны от неё, в сумме дают $180^\circ$ (а не равны друг другу). Это частая точка ошибок — важно всегда смотреть, на какую именно дугу опирается угол.

Для задания 1 обычно достаточно базовой формулировки $\angle AOB = 2\angle ACB$ и её прямого применения — сложные случаи с двумя дугами встречаются реже, но проверить условие на них стоит всегда.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определите тип каждого угла в условии. Проверьте вершину угла: если она в центре окружности — угол центральный; если на самой окружности — вписанный.

Шаг 2. Убедитесь, что углы опираются на одну и ту же дугу (или хорду). Обычно в условии прямо написано, что треугольник вписан в окружность, и назван центр — это подсказка, что стороны треугольника являются хордами, а углы при вершинах — вписанными углами, опирающимися на противоположные стороны как на хорды.

Шаг 3. Запишите основное соотношение $\angle_{\text{центр}} = 2\cdot\angle_{\text{вписан}}$ для нужной пары углов, опирающихся на одну дугу.

Шаг 4. Если в условии есть дополнительное соотношение между углами (например, «на столько-то градусов больше»), введите переменную для вписанного угла, выразите через неё центральный угол по теореме, а затем используйте данное в условии уравнение.

Шаг 5. Решите уравнение и проверьте ответ на здравый смысл: центральный угол должен быть больше вписанного (если они опираются на одну дугу и дуга меньше полуокружности), а все углы должны быть положительными и меньше $360^\circ$ (для центрального) или $180^\circ$ (для вписанного).

Этот алгоритм закрывает почти все задачи данного типа в первом задании: они сводятся либо к прямой подстановке в формулу, либо к простому линейному уравнению.

Разбор примера

Пример 1.

Условие. Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. Найдите угол $BOC$, если угол $BAC$ равен $32^\circ$.

Шаг 1. Определяем типы углов. Вершина угла $BAC$ — точка $A$, которая лежит на окружности (треугольник вписан в окружность). Значит, $\angle BAC$ — вписанный угол.

Вершина угла $BOC$ — точка $O$, центр окружности. Значит, $\angle BOC$ — центральный угол.

Шаг 2. Проверяем, опираются ли углы на одну дугу. Угол $BAC$ опирается на хорду $BC$ (стороны угла — это $AB$ и $AC$, а дуга, на которую он смотрит, — это дуга $BC$, не содержащая точку $A$). Угол $BOC$ с вершиной в центре также стягивается хордой $BC$ и соответствует той же дуге $BC$. Значит, оба угла опираются на одну и ту же дугу — можно применять теорему.

Шаг 3. Применяем формулу. $$\angle BOC = 2\angle BAC.$$

Шаг 4. Подставляем значение. $$\angle BOC = 2\cdot 32^\circ = 64^\circ.$$

Шаг 5. Проверка. Центральный угол $64^\circ$ больше вписанного $32^\circ$ — логично, так как дуга $BC$ явно меньше половины окружности (иначе вписанный угол был бы больше $90^\circ$). Ответ разумный и укладывается в допустимый диапазон.

Ответ: 64.

Пример 2.

Условие. Найдите центральный угол $AOB$, если он на $15^\circ$ больше вписанного угла $ACB$, опирающегося на ту же дугу.

Шаг 1. Вводим переменную. Пусть вписанный угол $\angle ACB = x$ градусов. Тогда по условию центральный угол: $$\angle AOB = x + 15^\circ.$$

Шаг 2. Применяем теорему о вписанном угле. Так как углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$ (это явно указано в условии), справедливо: $$\angle AOB = 2\angle ACB = 2x.$$

Шаг 3. Составляем уравнение. У нас есть два выражения для $\angle AOB$: $$2x = x + 15^\circ.$$

Шаг 4. Решаем уравнение. $$2x - x = 15^\circ \quad\Rightarrow\quad x = 15^\circ.$$

Это значение вписанного угла. Центральный угол: $$\angle AOB = x + 15^\circ = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ.$$

Шаг 5. Проверка. Проверим через прямую формулу: $\angle AOB = 2x = 2\cdot 15^\circ = 30^\circ$ — совпадает. Также убеждаемся, что центральный угол действительно больше вписанного на $15^\circ$: $30^\circ - 15^\circ = 15^\circ$ — верно.

Ответ: 30.

Оба примера показывают типичную структуру задания: либо прямая подстановка в формулу $\angle_{\text{центр}} = 2\angle_{\text{вписан}}$, либо простое уравнение, где нужно аккуратно выразить оба угла через одну переменную.

Типичные ошибки

Путаница, какой угол в два раза больше. Некоторые школьники по инерции делят центральный угол на два, когда нужно наоборот умножить вписанный. Чтобы не ошибиться, всегда сначала чётко определяйте, какая вершина где: в центре — угол больше (центральный), на окружности — угол меньше (вписанный).

Игнорирование условия «опирается на ту же дугу». Если в задаче фигурируют два вписанных угла, но на разные дуги одной хорды, применять теорему о равенстве вписанных углов нельзя — там работает другое правило (сумма таких углов равна $180^\circ$). Всегда мысленно (или на чертеже) проверяйте, что углы «смотрят» на одну и ту же часть окружности.

Ошибки в составлении уравнения при разностных условиях. Фразы «на столько-то больше/меньше» нужно переводить в уравнение аккуратно: «$A$ на 15° больше $B$» означает $A = B + 15^\circ$, а не $B = A + 15^\circ$. Перепутанный знак даёт неверный ответ или отрицательное число, что должно сразу насторожить.

Забывают проверить рисунок (если он дан). Даже если чертёж не приложен, полезно быстро набросать окружность, отметить центр, точки на окружности и провести хорды — это визуально показывает, какие углы центральные, а какие вписанные, и предотвращает механические ошибки.

Смешение градусной меры дуги с длиной дуги. В формулах речь идёт именно о градусной мере (угловой величине) дуги, а не о её длине в сантиметрах или метрах — путаница здесь встречается у тех, кто плохо помнит определение.

На что обратить внимание на экзамене

Задание 1 — это про скорость и точность, а не про сложные рассуждения. Прежде чем писать формулу, потратьте 5 секунд на то, чтобы явно определить: какая вершина в центре, какая на окружности, и на какую дугу (хорду) опирается каждый угол. Это экономит время на перепроверке.

Если в условии есть словесное соотношение между углами («больше на», «меньше в два раза», «равен» и т.д.), сразу переводите его в алгебраическое уравнение с одной переменной — не пытайтесь решать в голове, особенно если проценты усталости к этому моменту экзамена уже накопились.

После получения ответа быстро прогоните его через здравый смысл: центральный угол должен быть строго больше вписанного (при том же самом раскрытии дуги), угол не может быть отрицательным или больше $360^\circ$ (для центрального угла) либо больше $180^\circ$ (для вписанного). Такая проверка за несколько секунд отсеивает большинство арифметических и логических ошибок.

Отдельно держите в голове следствие про угол, опирающийся на диаметр — оно иногда используется в задании 1 напрямую, без явного упоминания теоремы о вписанном угле, и позволяет сразу увидеть прямой угол в треугольнике без дополнительных вычислений.

Наконец, не жалейте 10–15 секунд на быстрый чертёж от руки, если условие описывает конфигурацию словами. Визуализация окружности, центра и точек снимает большую часть риска перепутать роли углов и сразу подсказывает, какую формулу применять.