Задача 525110. Центральные и вписанные углы

Нужно найти угол ABC, зная углы ABD и CAD.

Оба угла — вписанные, то есть их вершины лежат на окружности. Ключ к решению — понять, на какие дуги они опираются.

Шаг 1: Определим, на какую дугу опираются углы CAD и CBD.

Угол CAD имеет вершину в точке A и опирается на дугу CD (дугу, не содержащую точку A).

Угол CBD имеет вершину в точке B и тоже опирается на дугу CD (дугу, не содержащую точку B).

Поскольку оба вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, они равны: $$\angle CBD = \angle CAD = 37°$$

Это прямое следствие теоремы о вписанных углах: все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, имеют одинаковую величину (равны половине центрального угла для той же дуги).

Шаг 2: Найдём угол ABC.

Угол ABC можно представить как сумму двух углов, если точка D лежит внутри угла ABC: $$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$$

Подставляем найденные значения: $$\angle ABC = 61° + 37° = 98°$$