Задача 27859. Центральные и вписанные углы

Обозначим центр окружности как O, а концы хорды как B и C. По условию хорда BC равна радиусу R.

Шаг 1. Определим центральный угол.

Рассмотрим треугольник BOC. В нём:

• $OB = R$ (радиус)
• $OC = R$ (радиус)
• $BC = R$ (по условию)

Так как все три стороны равны, треугольник BOC — равносторонний. Следовательно, $\angle BOC = 60°$.

Шаг 2. Применим свойство вписанного и центрального углов.

Вписанный угол и центральный угол, опирающиеся на одну и ту же хорду, связаны формулой: вписанный угол равен половине центрального.

Однако нужно учесть дополнительное свойство: если вписанный угол и центральный угол опираются на одну дугу, то вписанный угол равен половине центрального. Но если вписанный угол опирается на дугу, дополняющую дугу центрального угла (т.е. на большую дугу), то вписанный угол дополняет половину центрального до $180°$.

Шаг 3. Найдём вписанный угол.

Поскольку требуется найти тупой вписанный угол, вершина этого угла лежит на большей дуге окружности. Тогда:

$$\angle BAC = 180° - \frac{\angle BOC}{2} = 180° - \frac{60°}{2} = 180° - 30° = 150°$$

Ответ: 150 градусов.