ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Центральные и вписанные углы

Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Центральные и вписанные углы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Хорда, равная радиусу, образует с двумя радиусами равносторонний треугольник с центральным углом 60°, откуда вписанный угол на этой хорде равен 30°.

Обозначим центр окружности как O, а концы хорды как A и C. По условию хорда AC равна радиусу R.

Рассмотрим треугольник AOC:

  • AO=RAO = R (радиус окружности)
  • OC=ROC = R (радиус окружности)
  • AC=RAC = R (по условию)

Поскольку все три стороны равны, треугольник AOC — равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, поэтому центральный угол ∠AOC=60°\angle AOC = 60°.

Теперь применим теорему о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный угол ABC (с вершиной B на окружности) опирается на ту же хорду AC, что и центральный угол AOC. Поэтому: ∠ABC=∠AOC2=60°2=30°\angle ABC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{60°}{2} = 30°

Типичные ошибки

  • Забыли, что вписанный угол равен половине центрального угла, а не равен ему
  • Неправильно определили, какой треугольник равносторонний — забыли включить саму хорду в сравнение сторон
  • Спутали острый и тупой вписанные углы, опирающиеся на одну хорду — не учли, что B находится на малой дуге
Непонятно?

Похожие задачи