ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Центральные и вписанные углы

Задача 27866. Центральные и вписанные углы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.4 Окружность и круг5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200°. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Вписанный угол опирается на дугу, противолежащую его вершине, и равен половине этой дуги.

Сначала найдём градусную меру дуги AB, не содержащей точку C.

Все три дуги окружности вместе составляют полный оборот: дуга AC+дуга BC+дуга AB=360°\text{дуга } AC + \text{дуга } BC + \text{дуга } AB = 360°

Подставляем известные значения: 200°+80°+дуга AB=360°200° + 80° + \text{дуга } AB = 360° дуга AB=360°−200°−80°=80°\text{дуга } AB = 360° - 200° - 80° = 80°

Теперь применяем теорему о вписанном угле: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол ∠ACB\angle ACB — это вписанный угол, вершина которого лежит на окружности в точке C. Этот угол опирается на дугу AB (именно ту, которая не содержит точку C).

Поэтому: ∠ACB=12⋅дуга AB=12⋅80°=40°\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40°

Типичные ошибки

  • Забыли вычесть дуги из 360°, перепутали, какую дугу нужно использовать для расчёта угла — угол ACB опирается на дугу AB, а не на данные дуги AC и BC
  • Применили формулу центрального угла вместо вписанного — центральный угол равен всей дуге, а не половине
  • Неправильно определили, какая дуга AB имеется в виду — нужна дуга, не содержащая точку C

Ещё задачи этой подтемы