Задача 676844. Центральные и вписанные углы

Начнём с самого важного свойства: вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°. Поскольку MN — диаметр окружности, а точка P лежит на окружности, угол $\angle MPN = 90°$.

Теперь посмотрим на треугольник MNP. Мы знаем:

• $\angle MPN = 90°$ (только что выяснили)
• $\angle MNP = 36°$ (дано в условии)

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому третий угол: $$\angle PMN = 180° - 90° - 36° = 54°$$

Теперь главный момент: углы $\angle PMN$ и $\angle PKN$ — это оба вписанные углы окружности. Они опираются на одну и ту же дугу PN (дугу, которая не содержит точку M и не содержит точку K). По теореме о вписанных углах, все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Следовательно: $$\angle PKN = \angle PMN = 54°$$