ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Центральные и вписанные углы

Задача 27885. Центральные и вписанные углы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.4 Окружность и круг5.5.1 Величина угла, градусная мера угла

Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 118° и 38°. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Угол, образованный двумя секущими из точки вне окружности, равен полуразности дуг, которые эти секущие высекают на окружности.

Обозначим дугу, на которую опирается угол ADB, как дугу AB, и дугу, на которую опирается угол DAE, как дугу DE.

Шаг 1. По определению вписанного угла, он равен половине дуги, на которую опирается:

  • Угол ADB = 118° / 2, значит дуга AB = 118°
  • Угол DAE = 38° / 2, значит дуга DE = 38°

Шаг 2. Точка C лежит вне окружности, и из неё проведены две секущие: одна через точки A и B, другая через точки D и E.

Шаг 3. Применяем теорему об угле между двумя секущими, проведёнными из точки вне окружности: ∠ACB=(большая дуга)−(меньшая дуга)2\angle ACB = \frac{\text{(большая дуга)} - \text{(меньшая дуга)}}{2}

Эта формула работает потому, что угол образуется разностью дуг, заключённых между секущими.

Шаг 4. Подставляем известные значения дуг: ∠ACB=118°−38°2=80°2=40°\angle ACB = \frac{118° - 38°}{2} = \frac{80°}{2} = 40°

Типичные ошибки

  • Путаница между вписанным углом и дугой: забывают, что вписанный угол равен половине дуги, а не самой дуге.
  • Неправильное применение формулы: использование суммы дуг вместо разности (актуально при спешке).
  • Ошибка в определении больших и малых дуг: берут абсолютное значение без учёта порядка вычитания.

Ещё задачи этой подтемы