Задача 526006. Центральные и вписанные углы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.4 Окружность и круг

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 102° , угол CAD равен 46°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 16 задач

Разбор

Главная идея: Угол ABC можно разложить на сумму углов ABD и CBD; угол CBD найдётся из равенства вписанных углов, опирающихся на одну дугу.

Нужно найти угол ABD. Заметим, что углы CBD и CAD — это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу CD окружности.

По теореме о вписанных углах: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Поэтому: $\angle CBD = \angle CAD = 46°$

Теперь посмотрим на угол ABC. Он состоит из двух частей: угла ABD и угла DBC, которые в сумме дают ABC: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$

Подставляем известные значения: $102° = \angle ABD + 46°$

Находим искомый угол: $\angle ABD = 102° - 46° = 56°$

Путаница между вписанными и центральными углами — забыли, что вписанный угол в два раза меньше центрального, а не равен ему.
Неправильно определили дугу, на которую опираются углы CAD и CBD — нужно проверить, действительно ли это одна дуга (дуга CD).
Сложили углы вместо того, чтобы найти разность, не заметив, что угол ABC состоит из двух частей.

Ещё задачи этой подтемы