Задача 525719. Центральные и вписанные углы

Обозначим число вершин многоугольника через $n$. В правильном многоугольнике все внутренние углы равны между собой.

Сумма всех внутренних углов любого $n$-угольника вычисляется по формуле: $$S = 180°(n - 2)$$

Поскольку многоугольник правильный, каждый из $n$ углов одинаков. Значит, каждый угол равен: $$\alpha = \frac{180°(n - 2)}{n}$$

По условию задачи один из этих углов равен 160°. Составляем уравнение: $$\frac{180°(n - 2)}{n} = 160°$$

Умножаем обе части на $n$: $$180°(n - 2) = 160° \cdot n$$

Раскрываем скобку слева: $$180°n - 360° = 160°n$$

Переносим все члены с $n$ в левую часть: $$180°n - 160°n = 360°$$

$$20°n = 360°$$

Делим обе части на 20°: $$n = 18$$

Проверка: внутренний угол 18-угольника равен $\frac{180° \cdot 16}{18} = \frac{2880°}{18} = 160°$ ✓