Вписанные окружности в задании 1 ЕГЭ (профиль): радиус, площадь, периметр

О чём эта подтема

Задание 1 профильного ЕГЭ по математике — это базовая планиметрия с простыми числовыми вычислениями. Одна из частых формулировок связана с вписанной окружностью: окружностью, которая касается всех сторон многоугольника (чаще всего треугольника или правильного $n$-угольника) изнутри.

Здесь не требуется доказывать теоремы — нужно узнать тип задачи, вспомнить нужную формулу и аккуратно подставить числа. Ошибки обычно возникают не из-за сложности математики, а из-за путаницы между вписанной и описанной окружностью или забытых коэффициентов в формулах.

Что нужно знать

1. Определение. Вписанная окружность касается каждой стороны многоугольника ровно в одной точке. Её центр — точка пересечения биссектрис углов многоугольника (для треугольника — точка пересечения всех трёх биссектрис).

2. Главная формула — связь площади, радиуса и периметра. Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность (треугольник — всегда, произвольный многоугольник — не всегда), верно: $$S = r \cdot p,$$ где $S$ — площадь фигуры, $r$ — радиус вписанной окружности, $p$ — полупериметр, то есть $p = \dfrac{P}{2}$, где $P$ — периметр.

Отсюда легко выражается радиус: $$r = \frac{S}{p} = \frac{2S}{P}.$$

3. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника. Если катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c$, то $$r = \frac{a+b-c}{2}.$$ Эта формула — частный случай общей, но полезно помнить её отдельно: она позволяет находить радиус без вычисления площади.

4. Радиус вписанной окружности правильного $n$-угольника (апофема). В правильном многоугольнике радиус вписанной окружности совпадает с апофемой — расстоянием от центра до середины стороны. Формула: $$r = \frac{a}{2\tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)},$$ где $a$ — длина стороны.

Для частых случаев удобно помнить готовые формулы:

• равносторонний треугольник: $r = \dfrac{a}{2\sqrt3} = \dfrac{a\sqrt3}{6}$;
• квадрат: $r = \dfrac{a}{2}$;
• правильный шестиугольник: $r = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Последняя формула часто встречается в задании 1: правильный шестиугольник удобно представить как объединение шести равносторонних треугольников со стороной $a$, а апофема шестиугольника — это высота такого треугольника.

5. Свойство отрезков касательных. Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки к окружности, равны между собой. Это свойство пригождается, если задача даёт не периметр целиком, а отдельные отрезки на сторонах (в задании 1 встречается реже, но знать стоит).

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определите, о какой фигуре речь: произвольный треугольник, прямоугольный треугольник или правильный многоугольник. От этого зависит, какую формулу использовать.

Шаг 2. Выпишите, что дано: сторона, периметр, площадь или радиус — и что нужно найти.

Шаг 3. Выберите подходящую формулу:

• если известны периметр и площадь (или наоборот) — используйте $S = rp$;
• если это прямоугольный треугольник с известными катетами и гипотенузой — используйте $r = \dfrac{a+b-c}{2}$;
• если это правильный многоугольник со стороной $a$ — используйте формулу апофемы для конкретного $n$.

Шаг 4. Подставьте числа, аккуратно упростите выражение (особенно если в условии есть корни).

Шаг 5. Проверьте разумность ответа: радиус должен быть положительным числом, соизмеримым по порядку величины со стороной фигуры.

Разбор примера

Пример 1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $\sqrt3$.

Шаг 1. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников со стороной $a$, все вершины которых сходятся в центре шестиугольника.

Шаг 2. Радиус вписанной окружности шестиугольника — это апофема, то есть расстояние от центра до середины стороны. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ высота, опущенная на сторону, равна $$h = \frac{a\sqrt3}{2}.$$ Поскольку апофема шестиугольника совпадает с высотой одного из этих равносторонних треугольников, получаем формулу $$r = \frac{a\sqrt3}{2}.$$

Шаг 3. Подставляем $a = \sqrt3$: $$r = \frac{\sqrt3 \cdot \sqrt3}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5.$$

Ответ: $r = 1{,}5$.

Проверка разумности: сторона шестиугольника чуть больше 1,7, а радиус вписанной окружности должен быть меньше стороны (апофема всегда короче стороны у правильных многоугольников с небольшим числом сторон) — 1,5 меньше 1,73, всё логично.

Пример 2. Периметр треугольника равен 12, радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь треугольника.

Шаг 1. Здесь дан треугольник произвольного вида (не обязательно правильный или прямоугольный), но известны периметр и радиус — значит, применяем универсальную формулу $$S = r \cdot p.$$

Шаг 2. Находим полупериметр: $$p = \frac{P}{2} = \frac{12}{2} = 6.$$

Шаг 3. Подставляем в формулу площади: $$S = r \cdot p = 1 \cdot 6 = 6.$$

Ответ: $S = 6$.

Этот пример показывает главное преимущество формулы $S=rp$ — она не требует знания углов или отдельных сторон треугольника, достаточно периметра и радиуса вписанной окружности.

Типичные ошибки

1. Путаница вписанной и описанной окружности. Вписанная окружность лежит внутри фигуры и касается сторон, описанная — проходит через вершины. Формулы для них разные, и радиусы обозначаются одинаково буквой $R$ или $r$, что усиливает путаницу. Перед решением стоит чётко проговорить: «эта окружность внутри, значит вписанная, формула $S=rp$».

2. Забытое деление периметра на 2. Частая ошибка — подставить в формулу $S=rp$ вместо полупериметра весь периметр. Это сразу даёт ответ, отличающийся ровно в два раза от правильного.

3. Смешение стороны и апофемы правильного многоугольника. Иногда апофему по ошибке принимают за сторону или за диагональ, особенно в шестиугольнике, где сторона равна радиусу описанной окружности — это провоцирует путаницу именно с радиусом вписанной окружности.

4. Неверное упрощение корней. В примере с шестиугольником легко ошибиться при перемножении $\sqrt3 \cdot \sqrt3$, если торопиться — важно помнить, что $\sqrt3 \cdot \sqrt3 = 3$, а не $\sqrt6$ или иное выражение.

5. Применение формулы прямоугольного треугольника к произвольному треугольнику. Формула $r = \dfrac{a+b-c}{2}$ работает только для прямоугольного треугольника, где $c$ — гипотенуза. Для произвольного треугольника нужно использовать общую формулу через площадь.

На что обратить внимание на экзамене

• Формула $S = rp$ — самый универсальный инструмент подтемы: она подходит для любого треугольника (и вообще для любого многоугольника, у которого есть вписанная окружность), если известны любые два параметра из тройки «площадь – радиус – полупериметр».

• Для правильных многоугольников выгоднее сразу вспоминать готовые формулы (треугольник, квадрат, шестиугольник), а не выводить их через тангенс — это экономит время на экзамене.

• Внимательно читайте условие: слова «вписанная» и «описанная» — ключевые. Если перепутать, ответ будет неверным, даже если вся арифметика верна.

• Если в условии дан периметр, сразу переводите его в полупериметр — это самый частый источник арифметической ошибки в этой подтеме.

• Проверяйте порядок величины ответа: радиус вписанной окружности всегда меньше, чем стороны фигуры, и заметно меньше высоты треугольника или диагонали многоугольника. Если получившееся число выглядит неправдоподобно большим, стоит перепроверить вычисления.