Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности

Шаг 1. Вспомним свойство правильного треугольника

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из любой вершины, совпадают. Это значит, что центр вписанной окружности (инцентр) лежит на высоте.

Шаг 2. Найдём связь между высотой и радиусом вписанной окружности

Для правильного треугольника со стороной $a$ высота вычисляется по формуле: $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Радиус вписанной окружности связан с площадью и полупериметром треугольника: $$r = \frac{S}{p}$$

Где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр.

Для равностороннего треугольника:

• $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
• $p = \frac{3a}{2}$

Подставим: $$r = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3a} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Шаг 3. Выразим радиус через высоту

Заметим, что высота $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, поэтому $a\sqrt{3} = 2h$.

Тогда: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{2h}{6} = \frac{h}{3}$$

Шаг 4. Подставим известное значение

По условию $h = 6$, следовательно: $$r = \frac{6}{3} = 2$$