Задача 27908. Вписанные окружности

Для правильного треугольника используем связь между радиусом вписанной окружности и высотой.

Шаг 1: Выражаем радиус вписанной окружности через площадь и периметр. $$r = \frac{S}{p}$$ где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр.

Шаг 2: Для правильного треугольника со стороной $a$ найдём площадь через высоту $h$. Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Высота правильного треугольника: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Полупериметр: $p = \frac{3a}{2}$

Шаг 3: Подставляем в формулу для $r$: $$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{3a}{2}} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3a} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Шаг 4: Заметим, что $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, значит $a\sqrt{3} = 2h$.

Тогда: $r = \frac{2h}{6} = \frac{h}{3}$

Шаг 5: Решаем уравнение при $r = 6$: $$6 = \frac{h}{3}$$ $$h = 18$$