Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности

Используем связь между площадью треугольника, его полупериметром и радиусом вписанной окружности.

Шаг 1. Найдём полупериметр треугольника. Полупериметр — это половина периметра: $$p = \frac{P}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Шаг 2. Применим формулу площади треугольника через вписанную окружность. Для любого треугольника с вписанной окружностью верна формула: $$S = pr$$ Это работает потому, что вписанная окружность касается всех трёх сторон, и если провести радиусы в точки касания, треугольник разбивается на три меньших треугольника с общей высотой $r$ и основаниями, равными сторонам исходного треугольника. Сумма их площадей даёт $\frac{r(a+b+c)}{2} = rp$.

Шаг 3. Подставим известные значения: $$S = 6 \cdot 1 = 6$$