Задача 27913. Вписанные окружности

Шаг 1. Вспомним связь радиуса вписанной окружности с высотой ромба.

Для любого ромба вписанная окружность касается всех четырёх сторон. Диаметр этой окружности равен расстоянию между двумя противоположными (параллельными) сторонами — то есть высоте ромба. Поэтому радиус в два раза меньше высоты: $$r = \frac{d}{2}$$ где $d$ — высота ромба.

Шаг 2. Найдём высоту ромба через сторону и острый угол.

Проведём перпендикуляр из одной вершины на противоположную сторону. Высота ромба — это длина этого перпендикуляра. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной ромба и высотой, высота равна произведению стороны на синус острого угла между ними: $$d = AB \cdot \sin(\angle DAB)$$

Подставляем известные значения: сторона $AB = 1$, острый угол $\angle DAB = 30°$: $$d = 1 \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2}$$

Шаг 3. Найдём радиус.

$$r = \frac{d}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} = 0,25$$