Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности

Для вписанной окружности используем формулу: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр.

Шаг 1. Найдём полупериметр.

Сторона правильного треугольника $a = \sqrt{3}$. Периметр $P = 3\sqrt{3}$, поэтому полупериметр: $$p = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2. Найдём площадь треугольника.

Для правильного треугольника со стороной $a$ применяем формулу через синус угла. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°: $$S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

Шаг 3. Вычислим радиус вписанной окружности.

$$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$$

При делении дроби на дробь сокращаются $3\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе, остаётся простое деление 2 на 4.