Задача 27932. Вписанные окружности

Обозначим катеты равнобедренного прямоугольного треугольника как $a = 2 + \sqrt{2}$. Поскольку треугольник равнобедренный, оба катета равны.

Шаг 1. Найдём гипотенузу. По теореме Пифагора: $c = a\sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2$

Шаг 2. Применим формулу радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника. Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$

Поскольку катеты равны ($a = b = 2 + \sqrt{2}$): $$r = \frac{2a - c}{2} = \frac{2(2 + \sqrt{2}) - (2\sqrt{2} + 2)}{2}$$

Шаг 3. Упростим числитель. $$2(2 + \sqrt{2}) - (2\sqrt{2} + 2) = 4 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2 = 2$$

Шаг 4. Вычислим радиус. $$r = \frac{2}{2} = 1$$