Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности

Для треугольника, в который вписана окружность, существует важная связь между площадью, радиусом вписанной окружности и периметром.

Основная формула: $$S = pr$$ где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

Эта формула работает потому, что вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника. Если соединить центр окружности с вершинами, треугольник разбивается на три меньших треугольника, каждый имеет основанием одну из сторон исходного треугольника и высотой — радиус $r$. Сумма их площадей даёт общую площадь.

Решение:

Из формулы $S = pr$ выражаем полупериметр: $$p = \frac{S}{r}$$

Подставляем известные значения: $S = 24$ и $r = 2$: $$p = \frac{24}{2} = 12$$

Полупериметр — это половина периметра, поэтому периметр равен: $$P = 2p = 2 \cdot 12 = 24$$