Задача 27640. Вписанные окружности

Когда окружность вписана в многоугольник, существует универсальная связь между площадью многоугольника, радиусом вписанной окружности и его полупериметром.

Шаг 1: Применим формулу для площади через вписанную окружность.

Любой многоугольник с вписанной окружностью можно разбить на треугольники, вершины которых — в центре окружности, а стороны основания — стороны многоугольника. Каждый такой треугольник имеет высоту, равную радиусу $r = 3$ (перпендикуляр от центра к стороне).

Площадь каждого треугольника: $\frac{1}{2} \times \text{(сторона)} \times r$.

Сумма всех площадей: $\frac{1}{2} \times (a_1 + a_2 + \ldots) \times r = \frac{1}{2} \times P \times r$,

где $P$ — периметр.

Шаг 2: Запишем формулу.

$$S = \frac{1}{2} P \cdot r = \frac{1}{2} \times 20 \times 3 = 30$$

Эта формула работает для любого многоугольника (треугольник, четырёхугольник, многоугольник и т. д.), в который вписана окружность.