Задача 27939. Вписанные окружности

Ключевое свойство: четырехугольник описан около окружности (то есть окружность вписана в него) тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

Для четырехугольника ABCD это означает: $$AB + CD = BC + DA$$

Применяем свойство:

Периметр четырехугольника — это сумма всех его сторон: $$P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA$$

Переменим порядок слагаемых, сгруппировав противоположные стороны: $$P_{ABCD} = (AB + CD) + (BC + DA)$$

По свойству вписанной окружности $AB + CD = BC + DA$, поэтому обе суммы в скобках равны друг другу. Обозначим эту сумму как $AB + CD = 10 + 16 = 26$.

Вычисляем периметр: $$P_{ABCD} = (AB + CD) + (BC + DA) = 26 + 26 = 52$$

Периметр равен удвоенной сумме одной пары противоположных сторон.