Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности

Обозначим сторону ромба как $a$, острый угол как $\angle BAD = 30°$, радиус вписанной окружности $r = 2$.

Шаг 1: Связь между радиусом и высотой ромба

Вписанная в ромб окружность касается всех четырёх сторон. Её центр лежит на пересечении диагоналей, а радиус — это расстояние от центра до любой стороны, то есть половина высоты ромба (высота — расстояние между двумя параллельными сторонами). Следовательно: $$d = 2r = 2 \cdot 2 = 4$$

здесь $d$ — высота ромба.

Шаг 2: Выражение высоты через сторону и угол

Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на сторону $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ высота $BH$ связана со стороной $AB = a$ соотношением: $$BH = AB \cdot \sin(\angle BAD) = a \cdot \sin 30°$$

Но $BH$ — это ровно высота ромба, поэтому: $$d = a \cdot \sin 30°$$

Шаг 3: Найдём сторону

Подставляем $d = 4$ и $\sin 30° = 0{,}5$: $$4 = a \cdot 0{,}5$$ $$a = \frac{4}{0{,}5} = 8$$