Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности

Для прямоугольного треугольника используем формулу радиуса вписанной окружности через стороны.

Сначала найдём гипотенузу AB по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Для любого треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$ где a и b — катеты, c — гипотенуза прямоугольного треугольника.

Эта формула вытекает из общего соотношения $r = \frac{S}{p}$, где S — площадь, p — полупериметр. Для прямоугольного треугольника площадь $S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$, полупериметр $p = \frac{4 + 3 + 5}{2} = 6$, поэтому $r = \frac{6}{6} = 1$.

Или прямой подстановкой в формулу: $$r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{4 + 3 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$