Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности

Четырёхугольник описан около окружности, значит используем свойство описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны.

Обозначим стороны как $a$, $b$, $c$, $d$. Известно, что $a + b + c + d = 24$ (периметр).

По свойству описанного четырёхугольника: $a + c = b + d$.

Поскольку обе суммы равны между собой и в сумме дают весь периметр, каждая из них равна половине периметра: $a + c = b + d = 12$.

Даны две стороны: 5 и 6. Нужно понять, противоположны они или смежны. Предположим, что они противоположны. Тогда $5 + 6 = 11 \neq 12$, что противоречит свойству. Следовательно, стороны 5 и 6 смежны.

Пусть одна сторона равна 5, соседняя ей — 6. Обозначим неизвестные стороны как $x$ и $y$, где $x$ противоположна стороне 5, а $y$ противоположна стороне 6.

По свойству описанного четырёхугольника:

• $5 + x = 12 \Rightarrow x = 7$
• $6 + y = 12 \Rightarrow y = 6$

Две оставшихся стороны имеют длины 7 и 6. Большая из них — 7.