Задача 27916. Вписанные окружности

Рассмотрим правильный шестиугольник, описанный около окружности. Обозначим центр окружности как $O$, а сторону шестиугольника как $a$.

Шаг 1: Определим угол при центре. Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного шестиугольника, равен $\frac{360°}{6} = 60°$.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник с вершиной в центре. От центра $O$ проведём отрезки к концам одной стороны (обозначим их $A$ и $F$). Треугольник $AOF$ равнобедренный с углом $\angle AOF = 60°$ и боковыми сторонами $OA = OF$ (радиусы до вершин).

Так как угол при вершине $60°$ и треугольник равнобедренный, то два других угла равны по $(180° - 60°)/2 = 60°$. Значит, треугольник $AOF$ — равносторонний.

Шаг 3: Свяжем сторону с радиусом вписанной окружности. Радиус вписанной окружности $r = \sqrt{3}$ — это расстояние от центра $O$ до стороны шестиугольника. Опустим перпендикуляр из $O$ на сторону $AF$, обозначим точку касания как $H$. Тогда $OH = r = \sqrt{3}$.

В равностороннем треугольнике высота (совпадает с медианой и биссектрисой) делит противоположную сторону пополам. Поэтому $H$ — середина $AF$, и $\angle AOH = 30°$ (половина угла $AOF$).

Шаг 4: Вычислим сторону. В прямоугольном треугольнике $AOH$: $$HF = OH \cdot \tan(30°) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$$

Тогда $AF = 2 \cdot HF = 2 \cdot 1 = 2$.