Задача 27937. Вписанные окружности

В трапецию можно вписать окружность только при одном условии: суммы её противоположных сторон должны быть равны. Это свойство справедливо для любого выпуклого четырёхугольника, в который вписана окружность.

Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$ и $d$.

По свойству описанного четырёхугольника: $$a + b = c + d$$

Периметр трапеции: $$P = a + b + c + d = 40$$

Подставляем условие равенства сумм противоположных сторон: $$a + b + a + b = 40$$ $$2(a + b) = 40$$ $$a + b = 20$$

Средняя линия трапеции — это полусумма её оснований: $$m = \frac{a + b}{2} = \frac{20}{2} = 10$$