Задача 27938. Вписанные окружности

Воспользуемся ключевым свойством: в четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

Обозначим стороны трапеции: $AB$ и $CD$ — боковые стороны (где $AB$ — меньшая, $CD$ — большая), $BC$ и $AD$ — основания.

Шаг 1. По свойству вписанной окружности: $$AB + CD = BC + AD$$

Поскольку периметр равен 22: $$AB + CD + BC + AD = 22$$

Следовательно: $$AB + CD = BC + AD = 11$$

Шаг 2. Подставим $CD = 7$ (большая боковая сторона): $$AB + 7 = 11$$ $$AB = 4$$

Шаг 3. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и равна высоте трапеции. Сторона $AB$ является такой высотой (так как она меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции).

Шаг 4. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине высоты: $$r = \frac{h}{2} = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2$$