Задача 27952. Вписанные окружности

Посмотрим на четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность. По рисунку видно, что это квадрат, развёрнутый на 45° относительно сетки клеток.

Шаг 1: Найдём длину стороны квадрата.

Сторона AB является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого по сетке равны 1 и 3 клеткам. По теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$

Поскольку ABCD — квадрат, все его стороны равны $\sqrt{10}$.

Шаг 2: Найдём радиус вписанной окружности.

Для квадрата со стороной $a$ радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: $$r = \frac{a}{2}$$

Это потому, что окружность касается всех четырёх сторон, и расстояние от центра до любой стороны равно половине длины стороны (диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата).

Шаг 3: Подставим длину стороны.

$$r = \frac{\sqrt{10}}{2}$$

Шаг 4: Найдём $r\sqrt{10}$.

По условию нужно найти $r\sqrt{10}$: $$r\sqrt{10} = \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \sqrt{10} = \frac{10}{2} = 5$$