Задача 27943. Вписанные окружности

Когда к вписанной окружности проводят касательные, параллельные сторонам треугольника, они отсекают три меньших треугольника. Ключевое свойство: из любой точки вне окружности длины двух касательных до окружности равны.

Обозначим точки касания на сторонах треугольника. Из вершины $B$ проведены два отрезка касательных до окружности — они имеют одинаковую длину. Аналогично для вершин $A$ и $C$.

Пусть из точки $B$ отложены отрезки длины $b_1$, из $A$ — отрезки длины $a_1$, из $C$ — отрезки длины $c_1$.

Периметр каждого отсеченного треугольника складывается из двух сторон исходного треугольника плюс два отрезка касательных.

Например, периметр треугольника при вершине $B$: $$P_B = 2b_1 + (c_1 + a_1)$$

Аналогично для треугольников при вершинах $A$ и $C$: $$P_A = 2a_1 + (b_1 + c_1)$$ $$P_C = 2c_1 + (a_1 + b_1)$$

Сложим все три периметра: $$P_A + P_B + P_C = 2(a_1 + b_1 + c_1) + 2(a_1 + b_1 + c_1) = 2(AB + BC + CA)$$

Таким образом, сумма периметров трёх отсеченных треугольников равна удвоенному периметру исходного треугольника... Нет, пересчитаем: сумма всех отрезков касательных, выраженных через стороны, дает периметр $ABC$.

На самом деле: $P_A + P_B + P_C = 6 + 8 + 10 = 24 = P_{ABC}$.

Это следует из того, что каждая сторона исходного треугольника учитывается ровно один раз в сумме периметров благодаря свойству равенства касательных.