Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности

Главное свойство четырёхугольника, в который вписана окружность: сумма противоположных сторон равны.

Запишем это условие: $$AB + CD = BC + AD$$

Периметр четырёхугольника — это сумма всех четырёх сторон: $$AB + BC + CD + AD = 54$$

Перепишем периметр, перегруппировав слагаемые: $$(AB + CD) + (BC + AD) = 54$$

По свойству вписанной окружности обе скобки равны, поэтому: $$AB + CD = BC + AD$$

Подставим в формулу периметра: $$(AB + CD) + (AB + CD) = 54$$ $$2(AB + CD) = 54$$ $$AB + CD = 27$$

Подставим $AB = 18$: $$18 + CD = 27$$ $$CD = 9$$