Прямоугольный треугольник в задании 1 ЕГЭ: теория и разбор примеров

О чём эта подтема

Задание 1 по планиметрии на профильном ЕГЭ часто сводится к прямоугольному треугольнику: даны один катет и значение синуса, косинуса или тангенса острого угла, а найти нужно другую сторону — второй катет или гипотенузу. Такие задачи решаются буквально в 2–3 действия, если твёрдо помнить определения тригонометрических функций острого угла и основное тригонометрическое тождество. Никакой сложной геометрии здесь нет — вся работа сводится к аккуратному применению формул и элементарной алгебре с дробями и корнями. Именно поэтому эта подтема — один из самых надёжных источников баллов: ошибки здесь чаще связаны с невнимательностью, а не с нехваткой знаний.

Что нужно знать

Для решения прямоугольного треугольника достаточно небольшого набора фактов.

1. Теорема Пифагора. Если $\angle C = 90^\circ$, а $AC$, $BC$ — катеты, $AB$ — гипотенуза, то $$AC^2+BC^2=AB^2.$$

2. Определения тригонометрических функций острого угла. Для угла $A$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$): $$\sin A=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{BC}{AB},\qquad \cos A=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{AC}{AB},$$ $$\operatorname{tg}A=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}=\frac{BC}{AC},\qquad \operatorname{ctg}A=\frac{1}{\operatorname{tg}A}=\frac{AC}{BC}.$$

Ключевой момент — правильно определить, какой катет противолежащий, а какой прилежащий именно к рассматриваемому углу. Прилежащий катет образует угол вместе с гипотенузой, противолежащий — «смотрит» на угол с другой стороны треугольника.

3. Основное тригонометрическое тождество. $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$ Оно позволяет найти косинус, если известен синус, и наоборот. Так как в задании 1 угол всегда острый (это угол прямоугольного треугольника, отличный от прямого), обе величины — синус и косинус — положительны, поэтому при извлечении корня всегда берётся знак «плюс»: $$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha},\qquad \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}.$$

4. Связь тангенса с синусом и косинусом. $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$ Эта формула нужна, когда дан синус (или косинус), а требуется тангенс, чтобы через него выйти на нужную сторону.

5. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. $$\angle A+\angle B=90^\circ.$$ Отсюда следует, что $\sin A=\cos B$ и $\cos A=\sin B$ — это иногда упрощает переход между углами, если в условии дана функция не того угла, который нужен для ответа.

Больше ничего специфического для этой подтемы не требуется: не нужны ни теорема синусов, ни теорема косинусов — они избыточны для прямоугольного треугольника и только усложняют вычисления.

Как решать: метод и алгоритм

Задачи этого типа имеют почти шаблонную структуру: известна одна сторона и одна тригонометрическая функция угла, нужно найти другую сторону. Действовать удобно по следующему алгоритму.

Шаг 1. Определить прямой угол и разобраться, что дано и что нужно найти. Обозначьте, какая сторона — гипотенуза, какие — катеты. Посмотрите, какой катет является прилежащим, а какой противолежащим к углу, о котором идёт речь в условии.

Шаг 2. Выбрать формулу, которая напрямую связывает известную сторону с искомой через данную тригонометрическую функцию. Здесь возможны три типичные ситуации:

• дан катет и синус (или косинус) угла, нужна гипотенуза — используется определение синуса или косинуса, если известная сторона и есть тот катет, который входит в определение этой функции;
• дан катет и синус угла, а нужен другой катет — синус напрямую не связывает два катета, поэтому сначала находят косинус (по тождеству), затем тангенс как отношение синуса к косинусу, а через тангенс — второй катет;
• дана гипотенуза и функция угла, нужен катет — сразу применяется определение синуса или косинуса.

Шаг 3. Если нужной функции нет в условии напрямую, найти её через основное тригонометрическое тождество. Помните, что для острого угла все тригонометрические величины положительны, поэтому при извлечении квадратного корня знак минус не рассматривается.

Шаг 4. Составить уравнение и выразить искомую величину. Подставьте найденные значения в формулу, связывающую стороны, и решите простое уравнение относительно неизвестной стороны.

Шаг 5. Проверить ответ на разумность. Гипотенуза обязана быть больше любого катета. Если в результате вычислений гипотенуза оказалась меньше катета — где-то допущена ошибка (перепутаны катет и гипотенуза либо синус с косинусом).

Этот алгоритм полностью описывает подход к обоим примерам ниже: разница лишь в том, какая сторона неизвестна и какая функция дана.

Разбор примера

Пример 1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC=4{,}8$, $\sin A=\dfrac{7}{25}$. Найдите $AB$.

Шаг 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ сторона $AC$ — катет, прилежащий к углу $A$ (он соединяет вершину $A$ с прямым углом), а $AB$ — гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла). Значит, связь между этими двумя сторонами через угол $A$ даёт косинус: $$\cos A=\frac{AC}{AB}.$$

Шаг 2. Синус в условии не связывает напрямую $AC$ и $AB$, поэтому находим косинус через основное тригонометрическое тождество. Угол $A$ острый, поэтому косинус положителен: $$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2}=\sqrt{\frac{625-49}{625}}=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}.$$

Шаг 3. Подставляем найденное значение косинуса в формулу для гипотенузы: $$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{4{,}8}{\dfrac{24}{25}}=4{,}8\cdot\frac{25}{24}=5.$$

Проверка. Гипотенуза $AB=5$ больше катета $AC=4{,}8$ — результат правдоподобен. Ответ: $AB=5$.

Пример 2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC=2$, $\sin A=\dfrac{\sqrt{17}}{17}$. Найдите $BC$.

Шаг 1. Катет $AC$ прилежит к углу $A$, а катет $BC$ противолежит углу $A$ (он «смотрит» на угол $A$ с другой стороны треугольника, не касаясь его вершины). Два катета связаны через тангенс: $$BC=AC\cdot\operatorname{tg}A.$$

Шаг 2. Тангенса в условии нет, но его можно получить через синус и косинус. Сначала упростим синус: $$\sin A=\frac{\sqrt{17}}{17}=\frac{1}{\sqrt{17}}.$$ Найдём косинус по основному тригонометрическому тождеству (угол острый, косинус положителен): $$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\frac{1}{17}}=\sqrt{\frac{16}{17}}=\frac{4}{\sqrt{17}}.$$

Шаг 3. Находим тангенс как отношение синуса к косинусу: $$\operatorname{tg}A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{17}}}{\dfrac{4}{\sqrt{17}}}=\frac{1}{4}.$$

Шаг 4. Подставляем в формулу для второго катета: $$BC=AC\cdot\operatorname{tg}A=2\cdot\frac14=0{,}5.$$

Проверка. Катет $BC=0{,}5$ меньше катета $AC=2$ и меньше предполагаемой гипотенузы — противоречий нет. Ответ: $BC=0{,}5$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала точно определить роль каждой стороны (катет прилежащий, катет противолежащий, гипотенуза) относительно нужного угла, затем выбрать формулу и при необходимости достать недостающую тригонометрическую функцию через тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Типичные ошибки

Путаница между прилежащим и противолежащим катетом. Самая частая ошибка — использовать косинус там, где нужен синус, или наоборот, из-за неверного определения, какой катет к какому углу прилежит. Перед началом вычислений полезно явно проговорить (или подписать на рисунке): «$AC$ прилежит к углу $A$», «$BC$ противолежит углу $A$».

Забытый учёт знака при извлечении корня. Технически $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$, но в задачах на прямоугольный треугольник угол всегда острый, поэтому оба значения — синус и косинус — строго положительны. Ошибка возникает, если механически писать общий вид тождества без учёта того, что угол острый.

Смешение синуса и косинуса угла $A$ с синусом и косинусом угла $B$. Если условие говорит про угол $A$, а искомая сторона выражается естественнее через угол $B$, стоит либо пересчитать нужную функцию для угла $B$ через равенства $\sin B=\cos A$, $\cos B=\sin A$, либо аккуратно перепроверить, какой угол фигурирует в задаче.

Ошибки при делении дробей. Деление на обычную или на «сложную» дробь (например, $4{,}8:\frac{24}{25}$) часто делают невнимательно. Надёжнее сразу переписывать деление как умножение на обратную дробь: $a:\frac{p}{q}=a\cdot\frac{q}{p}$.

Попытка сразу использовать тангенс, когда дан только синус (или только косинус). Тангенс нельзя получить из одного синуса напрямую без предварительного нахождения косинуса — этот промежуточный шаг часто забывают, из-за чего появляется ошибка в формуле.

Неверное определение того, какая сторона гипотенуза. Гипотенуза — это всегда сторона, лежащая против прямого угла. Если в условии прямой угол указан при вершине $C$, то гипотенузой автоматически является сторона $AB$, а не любая другая сторона треугольника.

На что обратить внимание на экзамене

Во-первых, внимательно фиксируйте, при какой вершине стоит прямой угол — от этого зависит, какая сторона гипотенуза, а какие катеты. Лучше сразу подписать это на черновике или мысленно, чтобы не путать роли сторон в процессе вычислений.

Во-вторых, чётко определяйте прилежащий и противолежащий катет к тому углу, который упоминается в условии — это единственный момент, где чаще всего допускают ошибку. Прилежащий катет всегда соединяет вершину рассматриваемого угла с вершиной прямого угла.

В-третьих, помните: в задачах этого типа угол острый, поэтому синус, косинус и тангенс всегда положительны, и при использовании основного тригонометрического тождества берётся только положительный корень.

В-четвёртых, если условие даёт синус, а нужен второй катет (то есть требуется тангенс), не пытайтесь угадать формулу — пройдите весь путь: найдите косинус через тождество, затем тангенс как отношение синуса к косинусу, и только потом умножьте на известный катет.

В-пятых, после получения ответа проверяйте его на правдоподобность: гипотенуза должна быть строго больше каждого катета. Если получилось иначе, стоит перепроверить, не перепутаны ли роли сторон или тригонометрических функций.

Наконец, аккуратно работайте с арифметикой дробей и десятичных чисел — именно вычислительные, а не концептуальные ошибки чаще всего портят результат в этой, в целом несложной, подтеме.