Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Шаг 1. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике.

Высота $CH$, проведённая из прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, создаёт два небольших треугольника: $CHB$ и $CHA$. Они подобны исходному треугольнику $ABC$.

Шаг 2. Определим связь углов.

В треугольнике $ABC$: угол $C = 90°$, поэтому стороны $CA$ и $CB$ перпендикулярны.

В треугольнике $CHB$: угол $H = 90°$ (высота перпендикулярна гипотенузе), поэтому $CH \perp AB$.

Это значит, что стороны $CA$ и $CH$ взаимно перпендикулярны со сторонами при вершине $A$. По свойству углов со взаимно перпендикулярными сторонами получаем: $$\angle A = \angle HCB$$

Шаг 3. Найдём тангенс угла $A$ через треугольник $CHB$.

В прямоугольном треугольнике $CHB$ (с прямым углом в $H$): $$\tan \angle HCB = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{HB}{CH} = \frac{4}{8} = 0,5$$

Так как $\angle A = \angle HCB$, то: $$\tan A = 0,5$$