ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27239. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC  =  2, синус A = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 17 конец дроби . Найдите BC.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Через синус находим косинус, затем тангенс угла AA, и катет BCBC получаем как AC⋅tg⁡AAC\cdot\operatorname{tg}A.

Шаг 1. В прямоугольном треугольнике (∠C=90∘\angle C=90^\circ) катет ACAC прилежит к углу AA, а катет BCBC — противолежит ему. Значит, BC=AC⋅tg⁡ABC = AC\cdot\operatorname{tg}A.

Шаг 2. Найдём косинус угла AA по основному тождеству (угол AA острый, значит косинус положителен): sin⁡A=1717=117,cos⁡A=1−117=1617=417.\sin A=\frac{\sqrt{17}}{17}=\frac{1}{\sqrt{17}},\qquad \cos A=\sqrt{1-\frac{1}{17}}=\sqrt{\frac{16}{17}}=\frac{4}{\sqrt{17}}.

Шаг 3. Тогда tg⁡A=sin⁡Acos⁡A=1/174/17=14.\operatorname{tg}A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{1/\sqrt{17}}{4/\sqrt{17}}=\frac14.

Шаг 4. Подставляем: BC=AC⋅tg⁡A=2⋅14=0,5.BC=AC\cdot\operatorname{tg}A=2\cdot\frac14=0{,}5.

Типичные ошибки

  • Путают прилежащий и противолежащий катеты: берут BC=AC⋅sin⁡ABC=AC\cdot\sin A вместо тангенса.
  • Не упрощают 1717=117\frac{\sqrt{17}}{17}=\frac{1}{\sqrt{17}} и запутываются в вычислениях.
  • Ошибка при извлечении корня: cos⁡A=16/17=4/17\cos A=\sqrt{16/17}=4/\sqrt{17}, а не 16/1716/17.

Ещё задачи этой подтемы