ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27247. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, косинус A = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 17 конец дроби , ВС  =  2. Найдите АС.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Связать известный косинус с искомым катетом через формулу тангенса и основное тригонометрическое тождество для нахождения синуса.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при C нужно найти катет AC, зная косинус острого угла A и второй катет BC.

Шаг 1. Выразим AC через тангенс угла A.

В прямоугольном треугольнике tan⁡A=BCAC\tan A = \frac{BC}{AC}, откуда AC=BCtan⁡AAC = \frac{BC}{\tan A}.

Шаг 2. Перейдём от тангенса к синусу и косинусу.

AC=BCtan⁡A=BCcos⁡Asin⁡AAC = \frac{BC}{\tan A} = \frac{BC \cos A}{\sin A}

Шаг 3. Найдём sin⁡A\sin A из основного тригонометрического тождества.

sin⁡2A=1−cos⁡2A=1−(1717)2=1−117=1617\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{17}}{17}\right)^2 = 1 - \frac{1}{17} = \frac{16}{17}

Поэтому sin⁡A=417\sin A = \frac{4}{\sqrt{17}} (угол острый).

Шаг 4. Подставим числовые значения.

AC=2⋅1717417=2⋅1717⋅174=2⋅1717⋅4=2⋅14=0,5AC = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{17}}{17}}{\frac{4}{\sqrt{17}}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} = 2 \cdot \frac{17}{17 \cdot 4} = 2 \cdot \frac{1}{4} = 0,5

Типичные ошибки

  • Забыть возвести косинус в квадрат при применении тождества sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1
  • Ошибиться в вычислении sin⁡A=1−117\sin A = \sqrt{1 - \frac{1}{17}} и получить неверное значение
  • Перепутать, какой катет противолежит углу A, и использовать неправильную формулу для тангенса

Ещё задачи этой подтемы