ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27270. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике АВС угол С равен 90°, BC  =  5, синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . Найдите высоту СН.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Высота из прямого угла к гипотенузе образует угол, равный одному из острых углов исходного треугольника. Это позволяет связать высоту с известной стороной через косинус этого угла.

Шаг 1. Найдём косинус угла A через основное тригонометрическое тождество.

Используем связь sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1:

cos⁡2A=1−sin⁡2A=1−(725)2=1−49625=576625\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}

cos⁡A=2425\cos A = \frac{24}{25}

(берём положительное значение, так как угол A острый в прямоугольном треугольнике)

Шаг 2. Определим связь между углами A и HCB.

В треугольнике ABC угол C прямой. Высота CH перпендикулярна гипотенузе AB. При проведении высоты из прямого угла возникает важное свойство: угол HCB равен углу A (это следует из того, что стороны этих углов взаимно перпендикулярны).

Шаг 3. Выразим высоту CH через известные величины.

В прямоугольном треугольнике HCB (где угол H прямой):

CH=BC⋅cos⁡(∠HCB)=BC⋅cos⁡ACH = BC \cdot \cos(\angle HCB) = BC \cdot \cos A

Шаг 4. Подставим значения.

CH=5⋅2425=12025=4,8CH = 5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{120}{25} = 4,8

Типичные ошибки

  • Забыли, что sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1, и пытались найти косинус другим способом.
  • Перепутали, какой угол равен углу A — неправильно определили ∠HCB\angle HCB.
  • Забыли, что высота CH перпендикулярна гипотенузе, и неправильно составили отношение сторон в треугольнике HCB.

Ещё задачи этой подтемы