ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 7, BH = 24. Найдите косинус A.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Высота из прямого угла создаёт угол, равный углу A, благодаря взаимной перпендикулярности сторон; через этот угол косинус выражается через отношение катетов треугольника, образованного высотой.

Обозначим точку, где высота CH пересекает гипотенузу AB, буквой H. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) высота из прямого угла создаёт важное свойство: угол A в исходном треугольнике равен углу HCB в треугольнике CHB.

Это происходит потому, что у углов A и HCB стороны взаимно перпендикулярны: сторона AC перпендикулярна CH (так как CH — высота), а CH перпендикулярна AB.

В треугольнике CHB угол H прямой (по определению высоты), поэтому: cos⁡A=cos⁡∠HCB=CHCB\cos A = \cos \angle HCB = \frac{CH}{CB}

Найдём CB через прямоугольный треугольник CHB, применив теорему Пифагора: CB=CH2+HB2=72+242=49+576=625=25CB = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25

Теперь вычислим косинус: cos⁡A=CHCB=725=0,28\cos A = \frac{CH}{CB} = \frac{7}{25} = 0{,}28

Типичные ошибки

  • Попытка найти косинус через гипотенузу AB вместо через сторону CB треугольника CHB
  • Неправильное применение теоремы Пифагора или арифметическая ошибка при вычислении √625
  • Забывание, что CH ⊥ AB, и неправильное определение угла, равного углу A
Непонятно?

Похожие задачи