Задача 27267. Решение прямоугольного треугольника

Обозначим угол A как α. Дано: $AB = 13$, $\tan α = \frac{1}{5}$, угол C равен 90°.

Шаг 1: Найдём катеты треугольника.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C:

• $AC = AB \cos α$ (прилежащий катет)
• $BC = AB \sin α$ (противолежащий катет)

Из тангенса найдём синус и косинус. Используя тождество $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ и $\sin^2 α + \cos^2 α = 1$:

$$\cos^2 α = \frac{1}{1 + \tan^2 α} = \frac{1}{1 + \frac{1}{25}} = \frac{25}{26}$$

Поэтому $\cos α = \frac{5}{\sqrt{26}}$ и $\sin α = \tan α \cdot \cos α = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}}$.

Шаг 2: Применим формулу для высоты к гипотенузе.

Высота CH, опущенная из прямого угла на гипотенузу, вычисляется по формуле: $$CH = AC \cdot \sin α$$

Подставляем $AC = AB \cos α$: $$CH = AB \cos α \cdot \sin α = AB \cdot \sin α \cos α$$

Преобразуем через тангенс: $$CH = AB \cdot \tan α \cdot \cos^2 α = 13 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{26} = \frac{13 \cdot 25}{5 \cdot 26} = \frac{325}{130} = \frac{5}{2} = 2,5$$