Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Шаг 1. Определим связь углов в конструкции с высотой.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$. Высота создаёт два новых прямоугольных треугольника: $ACH$ и $BCH$.

Угол $HCB$ (угол между высотой $CH$ и катетом $BC$) равен углу $A$ исходного треугольника. Это следует из того, что стороны этих углов взаимно перпендикулярны: в треугольнике $ABC$ стороны $CA$ и $AB$ образуют угол $A$, а в треугольнике $BCH$ стороны $BC$ и $BH$ (которая лежит на $AB$) образуют угол $HCB$. Кроме того, $CA \perp CB$ (угол $C$ прямой) и $CH \perp AB$ (высота). По свойству углов со взаимно перпендикулярными сторонами получаем: $\angle HCB = \angle A$.

Шаг 2. Применим синус в треугольнике BCH.

В прямоугольном треугольнике $BCH$ (прямой угол при $H$) синус угла $HCB$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $$\sin(\angle HCB) = \frac{BH}{BC}$$

Поскольку $\angle HCB = \angle A$ и $\sin A = 0{,}5$, имеем: $$0{,}5 = \frac{BH}{8}$$

Шаг 3. Найдём BH. $$BH = 8 \cdot 0{,}5 = 4$$