Задача 27358. Решение прямоугольного треугольника

Обозначим $\tan A = \frac{2}{3}$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ высота $CH$ создаёт два подобных треугольника.

Шаг 1. Заметим, что угол $HCB$ равен углу $A$. Это следует из того, что в треугольнике $ABC$ угол $CAB$ и угол $HCB$ имеют взаимно перпендикулярные стороны (стороны угла $A$ перпендикулярны сторонам угла $HCB$), поэтому эти углы равны.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике $BCH$ (где угол $H$ — прямой): $$\tan(\angle HCB) = \frac{BH}{CH}$$

Поскольку $\angle HCB = \angle A$: $$\tan A = \frac{BH}{CH} = \frac{2}{3}$$

Отсюда: $$CH = \frac{3 \cdot BH}{2} = \frac{3 \cdot 12}{2} = 18$$

Шаг 3. В прямоугольном треугольнике $ACH$ (где угол $H$ — прямой): $$\tan A = \frac{CH}{AH}$$

Подставляем известные значения: $$\frac{2}{3} = \frac{18}{AH}$$

$$AH = \frac{18 \cdot 3}{2} = \frac{54}{2} = 27$$