Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Обозначим прямоугольный треугольник как $ABC$, где $\angle C = 90°$. Из вершины $C$ проведены высота $CH$ (к гипотенузе $AB$) и медиана $CM$ (также к гипотенузе). Угол между ними равен $40°$.

Шаг 1. Медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы: $CM = \frac{AB}{2}$. Значит, $CM = AM = MB$, и треугольник $CMB$ — равнобедренный.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике $CHM$ (где $\angle CHM = 90°$, так как $H$ лежит на гипотенузе и $CH$ — высота): $$\angle HCM = 40° \text{ (дано)}$$ $$\angle CMH = 90° - 40° = 50°$$

Шаг 3. Заметим, что $\angle CMB = 180° - \angle CMH = 180° - 50° = 130°$.

Шаг 4. В равнобедренном треугольнике $CMB$ углы при основании равны: $$\angle CBM = \angle CMB = \frac{180° - 130°}{2} = \frac{50°}{2} = 25°$$

Ошибка в переводе: здесь имеется в виду $\angle MBC = \angle MCB = \frac{180° - 130°}{2} = 25°$. Но проверим через исходную формулу: $\angle ABC = \frac{180° - (90° - 40°)}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$.

Шаг 5. Тогда второй острый угол: $\angle BAC = 90° - 65° = 25°$.

Больший из острых углов равен $65°$.