Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Обозначим вершины треугольника: $C$ — вершина прямого угла (90°), $A$ — вершина острого угла 32°, $B$ — третья вершина. Тогда третий острый угол равен $180° - 90° - 32° = 58°$.

Биссектриса прямого угла делит его пополам, создавая два угла по 45°. Биссектриса угла $A$ делит угол 32° на два угла по 16°.

Обозначим точку пересечения этих биссектрис как $O$. Рассмотрим треугольник $AOC$, где:

• угол при $C$ равен $45°$ (половина прямого угла)
• угол при $A$ равен $16°$ (половина угла 32°)

Угол $AOC$ в этом треугольнике: $\angle AOC = 180° - 45° - 16° = 119°$.

Однако нас просят найти острый угол между биссектрисами. Углы, образованные двумя пересекающимися прямыми, — это пары вертикальных углов. Если один угол равен 119°, то смежный с ним угол равен $180° - 119° = 61°$.

61° — это острый угол, поэтому это и есть ответ.

Другой способ (через внешний угол): угол $AOE$ — внешний угол треугольника $AOC$ при вершине $O$. По теореме о внешнем угле: $\angle AOE = \angle OAC + \angle OCA = 16° + 45° = 61°$.