Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Обозначим треугольник АВС, где С — вершина прямого угла, В — острый угол 66°, значит угол А равен 90° − 66° = 24°.

Шаг 1: свойство медианы к гипотенузе.

Медиана СМ проведена к гипотенузе АВ. По свойству: медиана из прямого угла к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть $CM = AM = MB = \frac{AB}{2}$.

Шаг 2: равнобедренный треугольник АМС.

Поскольку $AM = MC$, треугольник АМС равнобедренный. При основании АС равны углы: $\angle MAC = \angle MCA = 24°$.

Шаг 3: высота и её роль.

Высота СН опущена из прямого угла на гипотенузу АВ. В прямоугольном треугольнике СВН (с прямым углом при Н): $\angle BCH = 90° - \angle B = 90° - 66° = 24°$.

В прямоугольном треугольнике САН (с прямым углом при Н): $\angle ACH = 90° - \angle A = 90° - 24° = 66°$.

Шаг 4: нахождение угла между медианой и высотой.

Угол между СМ и СН вычисляется так:

$$\angle MCH = \angle ACM - \angle ACH = 24° - (90° - 66°) = 24° - 24°$$

Ошибка выше. Правильно: угол С разделён высотой и медианой.

$$\angle MCH = \angle ACH - \angle ACM = 66° - 24° = 42°$$