Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Обозначим вершины прямоугольного треугольника как $A$, $B$, $C$, где $C$ — вершина с прямым углом. Из $C$ проведены биссектриса $CD$ и медиана $CM$ к гипотенузе $AB$.

Шаг 1. Используем свойство медианы прямоугольного треугольника: медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $CM = \frac{AB}{2} = AM = MB$.

Шаг 2. Так как $CM = AM$, треугольник $ACM$ равнобедренный. Значит, его углы при основании $AM$ равны: $\angle CAM = \angle ACM$.

Шаг 3. Биссектриса прямого угла делит его пополам, поэтому $\angle ACD = \angle BCD = 45°$.

Шаг 4. Найдём угол между биссектрисой и медианой. По условию угол между $CD$ и $CM$ равен $14°$. Это угол $\angle DCM = 14°$.

Шаг 5. Угол $\angle ACM$ можно выразить как: $$\angle ACM = \angle ACD - \angle DCM = 45° - 14° = 31°$$

Шаг 6. Из равнобедренного треугольника $ACM$: $$\angle CAM = \angle ACM = 31°$$

Угол $\angle CAM$ — это угол $A$ исходного треугольника. В прямоугольном треугольнике угол $B = 90° - 31° = 59°$. Меньший острый угол равен $31°$.