Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение прямоугольного треугольника

Обозначим острые углы прямоугольного треугольника как $\angle A$ и $\angle B$. Поскольку треугольник прямоугольный, третий угол равен $90°$, поэтому: $$\angle A + \angle B = 90°$$

Биссектрисы острых углов делят их пополам. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной прямого угла и точками, где биссектрисы пересекаются с противолежащими сторонами. Обозначим точку пересечения биссектрис как $O$.

В треугольнике $AOB$ (где $A$ и $B$ — вершины острых углов) сумма углов равна $180°$: $$\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} + \angle AOB = 180°$$

Подставляем $\angle A + \angle B = 90°$: $$\frac{90°}{2} + \angle AOB = 180°$$ $$45° + \angle AOB = 180°$$ $$\angle AOB = 135°$$

Острый угол между биссектрисами — это дополнительный угол к найденному (смежный с ним): $$\angle BOD = 180° - 135° = 45°$$