ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение прямоугольного треугольника

Задача 27340. Решение прямоугольного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 4, BC  =  8. Найдите косинус A.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Высота из прямого угла создаёт два треугольника, подобные исходному; угол A равен углу HCB благодаря взаимной перпендикулярности сторон, поэтому косинус A можно вычислить прямо из маленького треугольника BCH.

В треугольнике ABC угол C прямой. Высота CH опущена из прямого угла на гипотенузу AB.

Шаг 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH, который образует высота с катетом BC.

В этом треугольнике:

  • угол CHB = 90° (высота перпендикулярна гипотенузе)
  • CH = 4 (дано)
  • BC = 8 (дано)

Шаг 2. Найдём углы. Заметим, что в треугольнике ABC угол A связан с углом HCB (угол между высотой CH и катетом CB).

Почему они равны? Потому что в исходном треугольнике ABC:

  • сторона AB перпендикулярна к CH (высота)
  • сторона AC перпендикулярна к BC (прямой угол)

Это означает, что стороны этих углов взаимно перпендикулярны, поэтому ∠A=∠HCB\angle A = \angle HCB.

Шаг 3. Вычислим косинус угла A через треугольник BCH: cos⁡A=cos⁡∠HCB=CHCB=48=0,5\cos A = \cos \angle HCB = \frac{CH}{CB} = \frac{4}{8} = 0,5

Мы используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике BCH: косинус острого угла равен отношению прилежащего катета (CH) к гипотенузе (BC).

Типичные ошибки

  • Перепутать, какой отрезок — катет, а какой гипотенуза в треугольнике BCH (BC — гипотенуза, так как лежит против прямого угла CHB)
  • Забыть, что высота в прямоугольном треугольнике перпендикулярна гипотенузе, и неправильно определить угол HCB
  • Использовать формулу для косинуса через координаты или другие методы вместо прямого применения определения в малом треугольнике

Ещё задачи этой подтемы